ダイナミクスの数理

• 4/18 イントロダクション。復習：線形微分方程式と行列の指数関数。
• 4/25 相図・フロー・平衡点・安定性などの定義。１次元フローの相図と平衡点の安定性。
• 5/2 ２次元線形ベクトル場の平衡点の安定性。固有値の実部で「だいたい」判定できること。
• 5/9 ２次元非線形ベクトル場の平衡点の安定性。局所的には、線形化で「だいたい」判定できること。
• 5/16 ヌルクライン法による相図の描き方。 練習問題：

  x'=x-y^2+1
  y'=x+y^2-1

  x'=y-2x^3+x
  y'=x-y

  宿題：

  x'=y-2x^3+x
  y'=y-x

• 5/23 リアプノフの方法。リアプノフ関数で安定であることを示す。 非線形ベクトル場の平衡点の安定性が、線形部分の固有値でほぼわかること（固有値の実部が０になるような状況を除く）の証明。
• 5/30 分岐の例：簡単な座屈現象。 運動方程式

  ms^2θ'' = -μθ'-ηθ+mgs sinθ

  （動かすパラメータは s）で、μが大きいとき、θ'' を無視することで1次元の方程式を考え、ピッチフォーク分岐が現れることを見る。 また、対称性をくずした

  ms^2θ'' = -μθ'-ηθ+mgs sin(θ+φ)

  からは同様にしてサドルノード分岐が現れる。
• 6/6 前回の方程式において、2階微分を無視しないで相図を描き、 ピッチフォーク分岐とサドルノード分岐を確かめる。 また、一般にサドルノード分岐は、線形部分の固有値がひとつだけ０に なるときに現れることを指摘した。
• 6/13 余次元とは。余次元２の分岐。ホップ分岐。
• 6/20 ファンデルポール方程式 x''+ε(1-x^2)x'+x=0 において εが 0 に近いとき、周期解を持つことを証明。
• 6/27 休講
• 7/4 休講
• 7/11 レポート問題。 Nonlinear dynamics and chaos by Strogatz の9章の前半を読む。
• 7/18 Nonlinear dynamics and chaos by Strogatz の続き。