多様体の各点における接空間に内積が指定されている多様体を
リーマン多様体という。アブストラクトに与えられたリーマン多様体は
十分次元の高いユークリッド空間内に内積を保ったまま埋め込む
ことができるが、ユークリッド空間の次元が小さくなれば、必ずしも
そこに実現できるとは限らない。内積を保ったまま埋め込めるための
条件は、多様体上の非線形１階偏微分方程式系の形で表現されるが、
余次元が小さい場合には、この方程式が解を持たなくなるからである。
与えられたリーマン多様体が実現可能となる最小次元のユークリッド
空間を決定する問題はリーマン幾何学における基本的な問題の一つで
あり、本講演ではこの問題について微分方程式の可積分条件の
立場から解説する。埋め込みが存在するためのobstructionが
可積分条件から自然に導かれることを解説し、時間があればその
具体的な応用についても紹介したい。