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点群について
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点群
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点のまわりの物体の対称性を表現する対称操作の集合のことを言う。

対称操作には回転や反転などがあるが、並進操作は含まれない。
点群を記述するのには以下の2つの方法がある。

シェーンフリース記号: 
    物理学や化学で用いられる点群。
ヘルマン・モーガン記号: 
    結晶学で用いられる点群。

例えば底面が正三角形の三角錐の点群はシェーンフリース記号では :math:`C_{3v}` 、ヘルマン・モーガン記号では :math:`3m` と表記される。
今回は主にシェーンフリース記号で記述する。

シェーンフリース記号では、点群は以下のように添字付きの文字として表される。


:math:`C_n` , :math:`D_n`, :math:`T` , :math:`O`


:math:`C_n`
~~~~~~~~~~~~
:math:`C_n` は巡回群に対して用いられ、 *n* 回回転軸を持つことを表している。

.. list-table:: 巡回軸：一本の回転軸と一つ以上の鏡映の面を持つ点群

   * - .. figure:: cexample-1.png
           :height: 150

           :math:`C_1` 

     - .. figure:: cexample-2.png
           :height: 150

           :math:`C_2` 

     - .. figure:: cexample-3.png
           :height: 150

           :math:`C_3` 

   * - .. figure:: cexample-4.png

           左から２，３，４，６回軸を表す軸記号

     - 
     -  
 

.. csv-table::
    :file: cex3.csv
    :encoding: UTF-8
    :header-rows: 1
    :delim: ;    
    
:math:`D_n`
~~~~~~~~~~~~    

:math:`D_n` は二面体群に対して用いられ、n回軸に垂直な面に *n* 個の二回軸を持つ対称群。
例えば :math:`D_3` は一本の3回軸と3本の2回軸を持つ。
    
.. figure:: dsample2.png
    :height: 250
        
    点群 :math:`D_3` 
    
    :math:`S_0` 、 :math:`S_1` 、 :math:`S_3` は2回軸。3回軸は三角形の重心に位置する。
    
.. csv-table::
    :file: dex2.csv
    :encoding: UTF-8
    :header-rows: 1
    :delim: ;      
    
:math:`T` と :math:`O` 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    

T は三角錐に対して用いられ、三角錐の対称性を持つことを示している。
    
O は八面体に対して用いられ、八面体の対称性を持つことを示している。

.. csv-table::
    :file: to.csv
    :encoding: UTF-8
    :header-rows: 1
    :delim: ;   


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生物学的集合体の対称軸の描画、チェック
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PDBファイルで示された結晶内での点群や対称軸の描画方法を示す。

生物学的集合体の描画
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例として先ほど示した :math:`D_2` の乳酸デヒドロゲナーゼのPDBエントリー :file:`1t25` 
の描画方法を示します。

PDB 本家のホームページ https://www.rcsb.org/ を開きます。

.. figure:: howto.png

    pdbの検索
    
    キーワードを入力する

.. figure:: howto2.png

    生物学的集合体の表示
    
    生物学的集合体が表示されるとともに点群も示される。この例では :math:`D_2` で
    3本の２回軸を持ちます。
    
生物学的集合体の対称軸の描画対称軸の表示
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生物学的集合体が表示されたら、webビューアーを起動する。
PDB本家のページのビューアーは対称軸を表示することができる。
本家のビューアーは :program:`WebGL` と :program:`JavaScript` を夫々利用した
:program:`NGL` と :program:`JSMOL` が2種類存在する。前者は汎用的であるが後者の方がよりわかりやすい図を描画してくれる。

.. figure:: howto3.png

    :program:`NGL` による対称軸の表示

    表示は、 ``orthographic camera`` で表示する。ここで表示された軸は対称軸の全てではない。
    :menuselection:`Select a different viewer --> JSmol (JavaScript)` で :program:`JSMOL` を起動する。

.. figure:: howto4.png
    :height: 350

    :program:`JSMOL` による対称軸の表示１
    
    :program:`JSMOL` を起動した直後の画面。完全なリボン図が描かれたのを待って :menuselection:`Symmetry` 
    を選択する。

.. figure:: howto5.png
    :height: 350

    :program:`JSMOL` による対称軸の表示2
    
    全ての対称軸が表示され軸の種類も表示されている。直方体は生物学的集合体の近接面を示す。